Verfahren zur Auslegung eines mindestens eine unrunde Scheibe aufweisenden

Steuertriebes

Gebiet der Erfindung

Die Erfindung betrifft ein Verfahren und ein Computersystem zur Auslegung eines Steuertriebes unter Berücksichtigung unrunder Scheiben.

Hintergrund der Erfindung

Die Zahl von Leistungsabnehmern einer Brennkraftmaschine ist stark ange¬ stiegen. Derzeit ist es üblich, dass mit einem Zugmittel, insbesondere einem Riemen, Aggregate wie beispielsweise, Generator, Wasserpumpe, Lenkhilfe¬ pumpe, Klimakompressor, Lüfter oder Ölpumpe angetrieben werden. Zur Erzie¬ lung eines schlupffreien Antriebs ist dem Zugmitteltrieb eines selbsttätiges Spannsystem zugeordnet. Die zunehmende Elektrifizierung von Kraftfahrzeu¬ gen führt zu größer dimensionierten Generatoren, die eine erhöhte Masse auf¬ weisen. Die Anforderungen an Laufruhe und Komfortniveau der Brennkraftma¬ schinen sind deutlich gestiegen, wobei die Stör- und Geräuschquellen bei¬ spielsweise im Motorraum mit enormen Aufwand zurückgedrängt werden. Dies führt dazu, dass neben dem klassischen Auslegungsverfahren für Zugmittel¬ triebe bspw. die gestiegenen Anforderungen an die Lebensdauer der Zugmittel berücksichtigt werden. Das entscheidende Qualitätskriterium des Zugmittel¬ triebs ist das dynamische Verhalten. Entsprechend wird in der Konstruktions¬ phase sowie im Verlauf einer Anwendungsentwicklung die dynamische Prob- lemstellung beachtet.

Bisher ist bereits ein Verfahren bekannt, mit dessen Hilfe es möglich ist, im Vorfeld einer eigentlichen Herstellung, d.h. noch im Entwicklungsstadium eines

Zugmitteltriebes, Aussagen über die Dynamik eines kraftschlüssigen Zugmittel¬ triebes zu machen.

Das bekannte Verfahren ist in dem Dokument, "Zur Dynamiksimulation des PKW-Nebenaggregatetriebs", VDI Berichte Nr.: 1467 (1999), S. 271 / 290, P. Solfrank, P. Keim, sowie in dem Dokument, „Analyse von transversalen Rie¬ menschwingungen bei PKW-Aggregatetrieben" VDI-Berichte Nr.: 1758 (2003), S. 169 / 183, F. Rettig detailliert beschrieben. Das Verfahren stützt sich auf allgemein bekannte Modellelemente und geht dabei insbesondere von ideal runden Zugmittelscheiben aus. Die vereinfachte Betrachtungsweise von ideal runden Scheiben geht einher mit der Annahme eines gleichförmig übersetzen¬ den Zugmitteltriebes. Dadurch werden allerdings wesentliche durch unrunde Scheiben hervorgerufene Nebeneffekte vernachlässigt, die sich bei nicht Be¬ rücksichtigung auch negativ auf die Laufruhe des Zugmitteltriebes und des ihn einbindenden Gesamtsystems auswirken können.

Aufgabe der Erfindung

Es war nunmehr eine Aufgabe der vorliegenden Erfindung ein Verfahren zur Auslegung eines Zugmitteltriebes unter Berücksichtigung unrunder Scheiben bereitzustellen.

Zusammenfassung der Erfindung

Ausgehend von diesen Überlegungen stellt die vorliegende Erfindung unter spezieller Berücksichtigung unrunder Scheiben ein Verfahren zur Auslegung eines mindestens eine unrunde Scheibe aufweisenden Zugmitteltriebes mit den Merkmalen des Patentanspruchs 1, ein Computersystem mit den Merkmalen des Patentanspruchs 7, ein Computerprogramm mit den Merkmalen des Pa¬ tentanspruchs 12 und ein Computerprogrammprodukt mit den Merkmalen des

Patentanspruches 14 bereit.

Gemäß Patentanspruch 1 wird ein Verfahren zur Auslegung eines mindestens eine unrunde Scheibe aufweisenden Zugmitteltriebes bereitgestellt, bei dem die Scheibe gesteuert danach positioniert wird, dass bei dynamischer Überla¬ gerung einer aus der Scheibenform resultierenden Anregung des Triebes wäh¬ rend des Betriebszustandes mit mindestens einer weiteren Anregung des Zugmitteltriebes eine spezifische Gesamtanregung des Zugmitteltriebes resul¬ tiert.

Unrund bedeutet im Rahmen der vorliegenden Erfindung, dass der Radius der Scheibe nicht konstant ist, was mit einer ungleichförmigen Übersetzung ein¬ hergehen kann. Durch eine unrunde Scheibe kann der insbesondere als Steu¬ ertrieb ausgelegte Zugmitteltrieb eine Anregung, d.h. eine Schwingungsanre- gung erfahren, die aus der Scheibenform, d.h. der nicht ideal runden Form, resultiert. Durch das erfindungsgemäße Verfahren wird nun die Scheibe derart positioniert, dass eine sich während des Betriebes des Zugmitteltreibes erge¬ bende Überlagerung einer aus der Scheibenform resultierenden Anregung des Triebes mit einer weiteren Anregung des Steuertriebes zu einer spezifischen Gesamtanregung des Zugmitteltriebes führt. Der erfindungsgemäße für einen Steuertrieb oder Aggregatetrieb einer Brennkraftmaschine bestimmte Zugmit¬ teltrieb kann sowohl als Riementrieb oder als Kettentrieb ausgelegt werden.

In einer Ausführungsform wird bei Überlagerung einer aus der Scheibenform resultierenden Anregung des Zugmitteltriebes mit mindestens einer weiteren Anregung des Triebes eine minimale Gesamtanregung realisiert. Das bedeutet, dass die durch die Scheibenform resultierende Anregung derart mit der min¬ destens einen weiteren Anregung überlagert wird, dass dadurch eine Minimie¬ rung der aufgrund der Anregungen störenden Nebeneffekte erzielt wird. Bei einer geeigneten Überlagerung phasenverschobener Schwingungen kann es ggf. sogar zur Auslöschung kommen. In einer anderen denkbaren Konstellation ist die durch die Scheibenform resultierende Anregung des Zugmitteltriebes so zu nutzen, dass ein optimales Verhalten hinsichtlich Lebensdauer, Schlupf und

/ oder einer Zugmittelschwingung erreicht wird.

Bei der weiteren Anregung kann es sich bspw. um eine Anregung aus der Un¬ gleichförmigkeit einer Kurbelwelle einer Brennkraftmaschine oder aus Momen- tenschwankungen handeln.

Dem erfindungsgemäßen Verfahren wird eine einfache Modellbildung zugrunde gelegt, die wie bereits erwähnt, bereits bei Betrachtung der Dynamik eines kraftschlüssigen Zugmitteltriebes unter bloßer Berücksichtigung ideal runder Riemenscheiben verwendet wurde.

Im Folgenden wird das Modell am Beispiel eines Riementriebes erläutert. Es lässt sich erfindungsgemäß auf alternative Zugmitteitriebe, wie bspw. einen Kettentrieb übertragen.

Der als Riementrieb ausgelegte Zugmitteltrieb wird im Rahmen des Modells als ein ebenes System verstanden. Die wesentlichen Modellelemente sind dabei zunächst Riemenscheiben mit fester Drehachse und vorgeschriebener Dreh¬ bewegung, Riemenscheiben mit fester Drehachse und einem rotativen Frei- heitsgrad sowie einem zeit- bzw. winkelabhängigen Lastmoment, Riementrume als idealisierte Feder-Dämpfer-Elemente nach dem sog. Kevin-Voigt-Modell, Riementrume mit der Möglichkeit von Transversalschwingungen, Riemen¬ scheiben, deren Drehachse auf einem Hebel sitzt, der wiederum um einen fes¬ ten Drehpunkt rotiert und mechanische und hydraulische Spannsysteme. Fer- ner wurden Elemente berücksichtigt, die rotatorische Verbindungen zwischen einzelnen Riemenscheiben darstellen, wie bspw. Drehfedern mit viskoser oder Coulombscher Reibung, und Freilauf-Elemente.

Üblicherweise wird eine Drehbewegung einer als Riemenscheibe ausgelegten Scheibe eines Zugmitteltriebs meist in Form einer Zeit- oder Fourierreihe vor¬ gegeben. Dies ist in der Regel bei der Kurbelwelle der Fall, da sie die Schwin¬ gungsanregung und gleichzeitig eine Systemgrenze darstellt. Die Verwendung einer Zeitreihe empfiehlt sich dann, wenn Messwerte zu einer untersuchten

Brennkraftmaschine vorliegen, deren gesamter Frequenzinhalt verwendet wer¬ den kann. Häufig geht es in solchen Fällen darum, ausgehend von einer Refe¬ renzkonfiguration verschiedene Varianten eines Riementriebes bzw. die Ausle¬ gung des Spannsystems zu untersuchen. In anderen Anwendungsfällen, wo das Ziel die Abschätzung eines Konzeptes ohne vorherige Anhaltspunkte ist, kann häufig nur auf Vorgaben aus ähnlichen Brennkraftmaschinen zurückge¬ griffen werden. Hier ist oft eher die Vorgabe der Kurbelwellendrehungleichför- migkeit in Form einer auf wenige harmonische Anteile reduzierten Fouriereihe sinnvoll.

Auch bei Scheiben von Zugmitteltrieben mit rotatorischem Freiheitsgrad ist eine mathematische Darstellung unproblematisch, da für diese Teilsysteme der Drallsatz in seiner einfachsten Form mit bekannten Momenten gültig ist. Zu den vom Zugmittel auf die Scheiben übertragenen Momente kommen bei den Scheiben der Aggregate die Lastmomente hinzu, die in der Praxis fast aus¬ schließlich als zeitlich konstant angesehen oder aufgrund fehlender weiterer Informationen nicht anders angegeben werden können. In Einzelfällen können Lastmomente zeit- oder positionsabhängig vorgegeben werden.

Unabhängig davon, ob an den durch einen Riementrum miteinander verbunde¬ nen Riemenscheiben die Möglichkeit von Schlupf zwischen Riemen und Rie¬ menscheibe vorgesehen wird, ist eine Darstellung der Drehkräfte bei linear elastischem Dehnungsverhalten des Riemens relativ einfach, wenn durch die Modellierung keine Transversalschwingungen zugelassen werden und zudem von ideal runden Scheiben ausgegangen wird. Bei gegebenen Positionen X ₁ und jc ₂ der Riemenscheibenmittelpunkte von zwei Riemenscheiben ergibt sich der Winkel zwischen deren Verbindungslinie x _M und der Riemenlaufrichtung e _Rie unter Annahme von ideal runden Riemenscheiben zu:

bzw. die freie Riemeniänge „I" zu

£ = cos a

mit di als der jeweiligen nominalen Scheibendrehrichtung (±1) und n als jeweili¬ gem Scheibenradius. Wie in Figur 1 , wo die Geometrie eines Riementrums unter Voraussetzung ideal runder Riemenscheiben dargestellt ist, gezeigt, er¬ laubt ein Vergleich dieser Größen für einen Nominal- und einen aktuellen Zu- stand die Berechnung der Riemendehnung zu

^ = £ _Λ -£ ₀ + d _ι r _ϊ (a _akt -a _ϋ - φ _x ) -d _z r ₂ {a _akt -a ₀ -φ ₂ )

Mit den Geschwindigkeiten der Kontaktpunkte Riemenscheibe

^v t,, ~ ^V _M ,, ⁺ d r ω ^β Rie kann die Dehnungsgeschwindigkeit zu

i ^. ω = v _w -v _w dt

berechnet werden. Auf der Basis eines Kevin-Voigt-Modells für den Riemen mit längenspezifischen Steifigkeits- bzw. Dämpfungswerten EA bzw. DA erhält man die aktuelle Riemenkraft zu

Eine Modellierung von Riementransversalschwingungen als Saitenschwingun¬ gen von freien Trumen lässt sich ohne Berücksichtigung von Dämpfungstermen als eine partielle Differentialgleichung zur Beschreibung der auf ein infinitesi-

males Riemenelement wirkenden Kräfte darstellen:

^pA ≠ d ² y ^+2pAv - ₈ d _x ² _S y _t

OX OX

Dabei werden Riemenlängsschwingungen vernachlässigt. Die verwendeten Formelzeichen bedeuten im einzelnen:

p A längenspezifische Masse y Auslenkung des Riemenelementes quer zur Tangente an die Riemen- Scheiben x Längskoordinate des Riemenelementes v Riemengeschwindigkeit in Längsrichtung

F Riemenlängskraft

E£ Biegesteif igkeit des Riemens

Unter Verwendung von Ansatzfunktionen für eine Riementransversalbewegung nach dem sogenannten Verfahren von Ritz entsprechend

y(x, t)=w ^τ (x)q(t)

mit einem Vektor „w" von rein ortsabhängigen Ansatzfunktionen und einem Vektor „q" reiner Zeitfunktionen, die im mechanischen Gesamtmodell Freiheits¬ grade darstellen, gewinnt man eine in gewöhnliche Differentialgleichungen transformierte Darstellung:

mit

M = μlww ^τ dx G = 2μvlww ^Υ dx D = δjw w ^r dx + E£lw"w" ^τ dx

F = F ₀ + — [ - qT\ w ¹ w' ^τ dx q + At J t \L J

Dabei wurde eine geschwindigkeitsproportionale Dämpfung hinzugefügt, deren Matrix in Anlehnung an die Steifigkeitsmatrix gebildet wurde. Drehpunkte sind hier als ortsfest angenommen. Bei Berechnung einer Riemenlängskraft erkennt man eine Analogie zur Berechnung der Riemenkräfte ohne Transversalschwin¬ gungen, lediglich Längenänderungen und entsprechende Dehnungsgeschwin¬ digkeiten aufgrund der Transversalschwingungen sind hinzugekommen.

Als Ansatzfunktion für eine Transversalschwingung werden Sinusfunktionen verwendet, für die ein ganzzahliges Vielfaches einer halben Wellenlänge gera¬ de der freien Länge des Riementrums entspricht, nämlich

Dadurch können Ortsintegralmatrizen explizit angegeben werden. Für die j-te Ansatzfunktion ergibt sich damit folgende gewöhnliche Differentialgleichung:

Bezüglich der Modellelemente mechanischer Spanner und hydraulischer Span-

ner wird auf die zitierte Druckschrift verwiesen.

Zu einer Integration der genannten Bewegungsgleichungen kommen klassi¬ sche Integrationsverfahren mit Schrittweitensteuerung zum Einsatz. Neben dem bekannten Runge-Kutta Verfahren 4./5. Ordnung hat sich in umfangrei¬ chen Vergleichsrechnungen vor allem das Verfahren nach Stoer und Bulirsch für das zitierte Modell als effizient erwiesen. Dabei wurden bei allen implemen¬ tierten Verfahren entsprechende Anpassungen zur Berücksichtigung von Ne¬ benbedingungen ebenso wie zur äquidistanten Ergebnisausgabe vorgenom- men. Das beschriebene System von Modellelementen kann in einem Berech¬ nungsprogramm bspw. in der Programmiersprache C++ weitgehend objektori¬ entiert implementiert werden. Die Einzelelemente sind dabei frei anordnenbar und kombinierbar, so dass beliebige Konfigurationen generiert werden können. Auch ist die Beschreibung einzeln dazu zu untersuchender Betriebszustände orientiert an einem derartigen Vorgehen, so dass es möglich ist, beliebig viele Betriebsfälle in einem Berechnungslauf sukzessiv abzuarbeiten. Für die enthal¬ tene Teilmodelle müssen geeignete Parameter bestimmt bzw. eingesetzt wer¬ den. Die notwendigen Parameter lassen sich in drei Klassen einordnen, näm¬ lich in Standardparameter wie Massen, Massenträgheitsmomente, Lastmomen- te der Aggregate und geometrische Abmessungen und Größen, die nur mit einem gewissen zusätzlichen Aufwand bestimmbar sind oder solche, die aus¬ schließlich für das Modell beschafft werden müssen.

Die letztgenannten Größen können bspw. durch eine Messung an einem Proto- typen gewonnen werden. Eine dritte Klasse von Model I Parametern sind solche, die zumeist gar nicht messbar sind, wie bspw. Dämpfungsparameter des Rie¬ mens oder Reibwerte in Kontakt zwischen Riemen und Riemenscheibe. Zur Problemlösung wird dabei auf Abgleichrechnungen verwiesen: ausgehend von einer Anwendung, die dem Zielsystem möglichst nahekommt und für die Mes- sungen vorliegen, werden nur für ein Gesamtsystem Messung und Rechnung gezielt durch Parameteranpassung in Übereinstimmung gebracht. Auf diese Weise wird ein realitätsnaher Parametersatz ermittelt.

Bei dem erfindungsgemäßen Verfahren wird jedoch nicht von ideal runden Riemenscheiben bzw. allgemein Scheiben sondern von zumindest einer un¬ runden Riemenscheibe bzw. Scheibe ausgegangen. Während sich die Deh¬ nung bei ideal runden Scheiben einfach als lineare Gleichung formulieren lässt, muss dies unter Berücksichtigung unrunder Scheiben durch einen kom¬ plexeren Ausdruck beschrieben werden.

Unter der Annahme von ideal runden Scheiben können in den entsprechenden Berechnungen zahlreiche Vereinfachungen gemacht werden. So bleibt bei- spielsweise die Trumgeometrie zwischen ortsfesten runden Scheiben nähe¬ rungsweise konstant. Gleiches gilt für die Länge und die Positionierung von entsprechenden Umschlingungsbögen der Scheiben. Die Dehnung eines Trums lässt sich dabei sehr einfach formulieren. Ein Riemen oder eine Kette bspw. läuft auf eine erste Scheibe auf und gleichzeitig von einer zweiten Scheibe ab. Es wird dabei angenommen, dass beide Scheiben eine ideal runde Form aufweisen, das heisst die erste Scheibe besitzt einen festen Radius r ₁₍ und die zweite Scheibe einen festen Radius r ₂ . Die erste Scheibe dreht sich nunmehr um einen Winkel ß ₁₍ während der Riemen oder die Kette aufläuft. Die zweite Scheibe dreht sich bei Ablaufen des Riemen oder der Kette während- dessen um einen Winkel ß ₂ . Es ergibt sich dabei eine Längenänderung des Riemens oder der Kette Δl, der sich wie folgt berechnen lässt:

Δl = 1-^ ₁ - r ₂ ß ₂

Die Dehnung entspricht dann Δl/I.

Unter Berücksichtigung unrunder Scheiben wird nun gemäß einer Ausfüh¬ rungsform des erfindungsgemäßen Verfahrens die Scheibenform der unrunden Scheibe durch einen winkelabhängigen Radius beschrieben.

In einer weiteren Ausführungsform wird bei einer Drehung der Scheibe eine von einem über die mindestens eine unrunde Scheibe laufenden Zugmittel überlaufene Bogenlänge der Scheibe als integraler Zusammenhang des win-

kelabhängigen Radius mit bei der Drehung von der Scheibe überstrichenen Winkeln beschrieben. Bei dem Zugmittel kann es sich dabei bspw. um einen Riemen oder eine Kette handeln.

Femer wird in einer anderen möglichen Ausführungsform des erfindungsge¬ mäßen Verfahrens die Bogenlänge dabei als dynamische Größe mittels dyna¬ misch sich ändernder bei der Drehung von der Scheibe überstrichenen Win¬ keln beschrieben.

Das im Folgenden für den Fall eines Riemens Erklärte gilt sinngemäß auch für andere Zugmittel.

Eine Dehnung bspw. eines Riemens, der auf eine erste Riemenscheibe auf- und gleichzeitig von einer zweiten Riemenscheibe abläuft, ergibt sich als Diffe- renz zwischen den auf den jeweiligen Riemenscheiben von dem Riemen über¬ laufenden Bogenlängen. Somit wird dann eine Dehnung eines über die unrun¬ de Riemenscheibe laufenden Riemens als funktionaler Zusammenhang des winkelabhängigen Radius mit bei der Dehnung von der Riemenscheibe über¬ strichenen Winkeln beschrieben. Das bedeutet, dass sich die Dehnung nun- mehr nur über eine komplexere Formulierung bestimmen lässt, wobei die Deh¬ nung für jeden geeigneten Zeitschritt bestimmt werden muss, um die Dynamik des Riementriebes beschreiben zu können. Diese erweitere Formulierung der Dehnung und entsprechend des Radius wird nun erfindungsgemäß in die ent¬ sprechenden Modellgleichungen und Modellformulierungen des eingangs er- wähnten und kurz beschriebenen Modells für Riementriebe mit ideal runden Riemenscheiben eingesetzt. Dadurch werden dann neben der geänderten Formulierung für die Dehnung auch die permanente Veränderung der Geomet¬ rie berücksichtigt, die mit der unrunden Riemenscheibenform einhergeht. Die erweiterte Formulierung der Dehnung und des winkelabhängigen Radius bei Gegenwart mindestens einer unrunden Riemenscheibe wirkt sich unter ande¬ rem unmittelbar auf die Riemenkraft, auf die Dehnung des Riemens und da¬ durch letztlich auf die Bewegungsgleichungen des oben genannten Modells des Gesamtsystems aus, auf welches hier vollumfänglich Bezug genommen

wird. Ferner wird das genannte Modell vom Rahmen der Erfindung vollumfäng¬ lich mit umfasst.

Ferner betrifft die vorliegende Erfindung ein Computersystem zur Modellierung eines mindestens eine unrunde Scheibe aufweisenden Steuertriebes mit Ein¬ gabemitteln zur Eingabe von den Steuertrieb beschreibenden Modellelementen und Parametern und mit Berechnungsmitteln zum Berechnen einer bei dynami¬ scher Überlagerung einer aus der Scheibenform resultierenden Anregung des Steuertriebes während des Betriebs des Steuertriebes mit mindestens einer weiteren Anregung des Steuertriebes resultierenden spezifischen Anregung des Steuertriebes, anhand derer die Scheibe gesteuert positioniert wird.

In einer Ausführungsform des erfindungsgemäßen Computersystems wird als resultierende spezifische Anregung eine minimale Anregung berechnet.

In einer weiteren Ausführungsform des erfindungsgemäßen Computersystems wird die Scheibenform der unrunden Scheibe durch einen winkelabhängigen Radius beschrieben.

Es wird ferner vorgeschlagen bei einer anderen Ausführungsform des erfin¬ dungsgemäßen Computersystems eine Dehnung eines über die unrunde Scheibe laufenden Zugmittels als funktionalen Zusammenhang des winkelab¬ hängigen Radius mit bei der Dehnung von der Riemenscheibe überstrichenen Winkeln zu beschreiben.

Femer kann in einer weiteren Ausführungsform des erfindungsgemäßen Com¬ putersystems die Dehnung als dynamische Größe mittels dynamisch sich än¬ dernder bei der Dehnung von der Scheibe überstrichenen Winkeln beschrie- ben werden.

Darüber hinaus stellt die vorliegende Erfindung ein Erzeugnis zum Durchführen des erfindungsgemäßen Verfahrens bereit, wobei das Erzeugnis ein Compu-

terprogramm mit Programmcode ist, der bei Abiauf des Computerprogrammes auf einem Computer dazu geeignet ist, ein erfindungsgemäßes Verfahren durchzuführen.

Das erfindungsgemäße Computerprogramm ist dabei beispielsweise auf einem computerlesbaren Medium gespeichert.

Die vorliegende Erfindung betrifft ferner einen computeriesbaren Datenträger mit einem darauf gespeicherten Computerprogramm, das einen Programmcode umfasst, der bei Ablauf des Computerprogrammes auf einem Computer dazu geeignet sind, ein erfindungsgemäßes Verfahren durchzuführen.

Weiter wird ein Computersystem mit einem Speichermittel bereitgestellt, in dem ein Computerprogramm mit Programmcode gespeichert ist, der bei Ablauf des Computerprogramms auf einem Computer dazu geeignet sind, ein erfindungs¬ gemäßes Verfahren durchzuführen.

Weitere Vorteile und Ausgestaltungen der Erfindung ergeben sich aus der Be¬ schreibung und den beiliegenden Zeichnungen.

Es versteht sich, dass die vorstehend genannten und die nachstehend noch zu erläuternden Merkmale nicht nur in der jeweils angegebenen Kombination, sondern auch in anderen Kombinationen oder in Alleinstellung verwendbar sind, ohne den Rahmen der vorliegenden Erfindung zu verlassen.

Im folgenden wird unter Bezugnahme auf die Zeichnungen die Erfindung an¬ hand eines Ausführungsbeispiels im Vergleich zu einem Beispiel aus dem Stand der Technik ausführlich beschrieben. Dabei zeigt

Figur 2 eine schematische Darstellung eines Riementriebes mit zwei ideal runden Riemenscheiben, die über einen über sie laufenden Riemen miteinander gekoppelt sind.

Figur 3 zeigt demgegenüber eine schematische Darstellung eines Riementriebes mit zwei unrunden Riemenscheiben, die ebenfalls über einen über sie laufenden Riemen miteinan- der gekoppelt sind.

Figur 2 zeigt einen Riementrieb 10 mit zwei ideal runden Riemenscheiben 11 und 12. Der Riementrieb 10 wird dabei als ebenes System verstanden. Die Riemenscheiben 11 und 12 sind im vorliegenden Beispiel jeweils um eine feste Achse drehbar. Im Allgemeinen ist es aber auch denkbar, dass die Riemen¬ scheiben selbst eine transversale Bewegung ausführen können, was hier zu¬ gunsten der Anschaulichkeit nicht betrachtet wird. Die Riemenscheibe 11 hat einen konstanten Radius r ₁₍ während die Riemenscheibe 12 einen konstanten Radius r ₂ aufweist. Im hier dargestellten Fall ist T ₁ größer als r ₂ . Die Riemen- scheibe 11 wird nun beispielsweise um einen Winkel ßi gedreht. Die Riemen¬ scheibe 11 treibt dabei die Riemenscheibe 12 an, so dass die Riemenscheibe 12 dadurch um einen Winkel B ₂ gedreht wird. Demzufolge wird ein Riemen 13, der über die Riemenscheiben 11 und 12 läuft, um einen Betrag Δl gedehnt. Δl ergibt sich dabei sehr einfach aus der folgenden Gleichung:

Δl= T ₁ B ₁ - r ₂ B ₂

wobei n B ₁ die seitens des Riemens auf der Riemenscheibe 11 aufgelaufene Bogenlänge und r ₂ B ₂ entsprechend die seitens des Riemens auf der Riemen- scheibe 12 abgelaufene Bogenlänge angibt.

Figur 3 zeigt demgegenüber einen Riementrieb 20 mit zwei unrunden Riemen¬ scheiben 21 und 22. Die Riemenscheiben 21 und 22 sind dabei wiederum je¬ weils um eine feste Achse drehbar. Ferner ist ein Riemen 23 gezeigt, der über die Riemenscheiben 21 und 22 läuft und diese dadurch miteinander koppelt. Wird die Riemenscheibe 21, wie hier dargestellt gegen den Uhrzeigersinn um einen Winkel Ψ, gedreht, so läuft der Riemen 23 auf die Riemenscheibe 21 auf. Gleichzeitig wird die Riemenscheibe 22 um einen Winkel Ψ ₂ gedreht und der

Riemen 23 läuft dabei von der Riemenscheibe 22 ab. Die seitens des Riemens 23 dabei auf der jeweiligen Riemenscheibe 21 bzw. 22 überlaufene Bogenlän¬ ge S ₁ bzw. S ₂ ergibt sich als Integral über das Differential dSi bzw. ds ₂ der Bo¬ genlänge, was in Polarkoordinaten folgendem Ausdruck entspricht:

f-\ (φ) ist dabei der winkelabhängige Radius der Riemenscheibe 21 und r ₂ ( der entsprechend winkelabhängige Radius der Riemenscheibe 22. Aufgrund der seitens des Riemens 23 unterschiedlich überlaufenden Bogenlängen der Riemenscheibe 21 bzw. 22 ergibt sich dabei eine Dehnung Δl des Riemens 23 zu:

Die enthaltenen Integrale müssen dabei für jeden geeigneten Zeitschritt gelöst werden, um die Dynamik des Riementriebes adäquat beschreiben zu können. Alternativ können die Integrale auch vorab gelöst werden oder durch eine adä- quate Näherung wie bspw. geeignete Polynome ersetzt werden.

Bei Verwendung dieses auf unrunde Riemenscheiben erweiterten Dehnungs¬ ausdrucks in dem bereits für ideal runde Riemenscheiben bekannten und ein-

gangs erwähnten Verfahren zur optimierten Auslegung von Riementrieben, können die aus der Scheibenform resultierenden Effekte berücksichtigt und hinsichtlich einer optimalen Auslegung des entsprechenden Riementriebes eingesetzt werden. Dabei kann auch die aufgrund der Scheibenform resultie- rende permanente Veränderung der Geometrie berücksichtigt werden.